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Zahlensysteme

In der Reihe zur ALU (Arithemitic Logic Unit) brauchen wir erstmal die Grundlagen, sprich Zahlensysteme, mit denen unser Computer etwas anfangen kann.

Die meisten Leute sollten sich ja mit dem 10er System oder Dezimalsystem gut auskennen, das ist das, was wir tagtäglich benutzen.

Auch das 12er/24er/60er System sollte jeder von seiner Uhr kennen.

Im Computerbereich wird auch gerne das Hexadezimalsystem verwendet, sowie intern grundsätzlich das Binärsystem.

 

Was bedeutet das nun im Einzelnen

Dezimalsystem

Nehmen wir als Beispiel das normale Dezimalsystem und die Zahl 43.
Jede Stelle in einer Zahl kann die Ziffern 0 bis 9 sein, führende 0er werden weggelassen.
Die Spalte ganz rechts hat den Multiplikator 1, die zweite Spalte 10, die nächste 100 usw.

Hier konkret:

Zahl 4 3
Multiplikator 10 1
  4*10 3*1

Addieren wir zu der Zahl 43 die 9, hätten wir auf der letzten Ziffer 12, da aber nur bis 9 möglich ist, gibt es einen Überlauf und wir erhalten 2 und die Ziffer davor bekommt die 1 dazuaddiert. Das Ergebnis ist 52. Mathematik für Grundschüler :)

  4 3
+   9
= 5 2

 

Hexadezimalsystem

Das gleiche Spiel nun mit der Hexadezimalzahl 0x2b. Hexadezimalzahlen werden oft mit der Schreibweise 0x... durchgeführt.
Hier sind pro Ziffer 16 Werte erlaubt, 0-9 und a-f. Hier ist der Multiplikator für die rechte Spalte 1, die nächste 16, danach 256 u.s.w.
0x2b bedeutet nun 2*16 + b*1 oder 2*16 + 11*1 = 43 Dezimal.

Zahl 2 b
Multiplikator 16 1
  2*16 b*1

fügen wir unser 0x2b die 9 hinzu, ergibt sich für die Ziffer rechts b+9 = 20, d.h. ein Überlauf und die 4, da 20 - 16 = 4. Ergebnis ist die 0x34.

  2 b
+   9
= 3 4

 

Quasi Mathematik für Informatik-Grundschüler.

 

Binärsystem

Und nun unsere Darstellung intern im Computer:

0b00101011 (als 8-Bit Zahl)

Hier sind die Multiplikatoren 1, 2, 4, 8, 16, 32, usw.

Zahl 1 0 1 0 1 1
Multiplikator 32 16 8 4 2 1
  1*32 0*16 1*8 0*4 2*1 1*1

Also 32+8+2+1 = 43

Und nun unsere + 9 ergibt:

  1 0 1 0 1 1
+     1 0 0 1
= 1 1 0 1 0 0

Dies wird gerechnet, wie sonst auch, nur das hier die Ziffern 0 und 1 erlaubt sind. D.h. 1+1 = 0 mit Übertrag 1.

Grundrechnen für Computer.

Warum Hexadezimale Schreibweisen?

Wie oben gesehen, ist die es möglich, mit 2 Ziffern den Bereich 0 - 255 abzudecken. Dies sind 8 Bit. Dadurch kann man bestimmte interne Dinge leichter überblicken und validieren als in Dezimal. Beispiel: bei 0xF0 ist es recht einfach zu sehen, dass die linken 4 Bit alle 1 sind, die rechten 4 alle 0. Das wäre bei 240 nicht ganz so einfach.

 

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